Numerično modeliranje vse bolj zapletenih fizikalnih sistemov nam omogoča vpogled v vrsto pomembnih vprašanj, kot so okoljski problemi, izboljšave tehnoloških procesov, razvoj biomedicinskih aplikacij itd. Matematični modeli pogosto vsebujejo sisteme sklopljenih parcialnih diferencialnih enačb (PDE), ki jih numerično naslovimo z uporabo različnih numeričnih metod. Najbolj pogost pristop k numeričnem reševanju je metoda končnih elementov (FEM), saj ponuja dodobra razvit in vsestranski rešitveni postopek, vključuje vse vrste prilagodljivosti, ima dobro preučene indikatorje napake in uveljavljen nabor orodij za povezavo z računalniško podprtim načrtovanjem geometrije (CAD).
A kljub razširjenosti FEM ostaja mreženje realističnih 3D domen še vedno pereč problem. Pravzaprav je mreženje nepravilnih 3D oblik eden od najbolj zapletenih in dolgotrajnih korakov v celotnem postopku numeričnega reševanja. Kot odgovor na okorno mreženje realističnih 3D domen se je v 70. letih 20. stoletja pojavil nov razred numeričnih metod – brezmrežne metode. Brezmrežne metode, kot namiguje že njihovo ime, v celoti določijo medsebojno povezljivost točk preko razdalj in se tako znebijo problemov grajenja mreže.
Kljub številnim romantičnim opisom brezmrežnih metod, ki jih je mogoče najti v literaturi, ostaja še veliko neodgovorjenih vprašanj. Za razliko od FEM (in drugih metod, ki temeljijo na mrežah) brezmrežne metode še zdaleč niso tako podrobno preučene in kljub desetletjem raziskav še vedno nimamo celovitega pregleda nad učinkovitostjo različnih brezmrežnih metod.
V naši skupini se osredotočamo na sinergijo med računalništvom in brezmrežno numerično analizo, kjer se trudimo združiti splošno programsko paradigmo programskega jezika C++ in eleganco matematične formulacije brezmrežnih metod v odprtokodni knjižnici Medusa (https://e6.ijs.si/medusa/). Meduso smo začeli razvijati leta 2015, da bi podprli naše raziskave na področju brezmrežnih metod ter si olajšali implementacijo raziskovalnih in aplikativnih projektov (https://e6.ijs.si/ParallelAndDistributedSystems/projects/).
Obstaja več odprtih raziskovalnih tem, ki jih je mogoče obravnavati v okviru doktorske dela.
Matematična analiza brezmrežnih metod:
- študij lastnosti brezmrežnih metod (konvergenca, stabilnost),
- razvoj adaptivnih metod (hp-adaptivnost, indikatorji napake, indikatorji gladkosti rešitve),
- analiza vpliva stabilizacijskih metod na kakovost rešitve (hiperviskoznost, adaptivna privetrna shema …).
Numerično reševanje fizikalnih problemov:
- računska dinamika tekočin (simulacije toka nenewtonskih tekočin, neposredne simulacije toka kapljevine skozi porozni medij, …),
- simulacije termičnega stanja elektroenergetskih elementov,
- simulacije strjevanja,
- meteorološke simulacije.
Računalništvo:
- razvoj vzporednih algoritmov za brezmrežno numerično analizo,
- optimizacija izvajanja kode z upoštevanjem računalniške arhitekture preko nizkonivojskih meritev na centralni procesni enoti (CPU).
- razvoj kode za izvajanje na grafičnih karticah (GPGPU)